Class 12th Maths Mid-Term Test - 1

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Preparing: Class 12th

CLASS 12th MATHEMATICS

MID-TERM TEST – 1

Based on New Syllabus | Moderate + Advanced Level

Time: 3 Hours Max Marks: 70

Syllabus Covered | पाठ्यक्रम

Part I: Algebra & Calculus:

• Relations and Functions / संबंध एवं फलन
• Inverse Trigonometric Functions / प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
• Matrices & Determinants / आव्यूह एवं सारणिक
• Continuity and Differentiability / सततता एवं अवकलनीयता

Part II: Applications & Advanced Calculus:

• Application of Derivatives / अवकलज के अनुप्रयोग
• Integrals / समाकल
• Application of Integrals / समाकलनों के अनुप्रयोग
• Differential Equations / अवकल समीकरण

General Instructions / सामान्य निर्देश

• All questions are compulsory unless an internal choice is given. / जहाँ आंतरिक विकल्प दिया गया है, उसके अतिरिक्त सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
• The question paper contains four sections – A, B, C and D. / प्रश्न-पत्र चार खण्डों A, B, C एवं D में विभाजित है।
• Use of calculators is not permitted. / कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।
• Show necessary steps in questions involving calculations. / गणनात्मक प्रश्नों में आवश्यक चरण अवश्य दिखाएँ।

SECTION – A (MCQs) 15 × 1 = 15 Marks

Q1.

Let f: R → R be defined by f(x) = x³. Then f is:

यदि फलन f: R → R, f(x) = x³ द्वारा परिभाषित है, तो f है:

• (a) One-one but not onto / एकैकी लेकिन आच्छादक नहीं
• (b) Onto but not one-one / आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
• (c) Both one-one and onto / एकैकी तथा आच्छादक दोनों
• (d) Neither / दोनों नहीं

Q2.

If f(x) = x², g(x) = sin x, then (g ° f)(x) is:

यदि f(x) = x², g(x) = sin x, तो (g ° f)(x) है:

• (a) sin²x
• (b) sin(x²)
• (c) x² sin x
• (d) sin x / x²

Q3.

The principal value of sin^-1(-1/2) is:

sin^-1(-1/2) का मुख्य मान (principal value) है:

• (a) π/6
• (b) -π/6
• (c) 5π/6
• (d) 7π/6

Q4.

If A is a 3 × 3 matrix and |A| = 2, then |3A| equals:

यदि A एक 3 × 3 आव्यूह है तथा |A| = 2, तो |3A| का मान है:

• (a) 6
• (b) 18
• (c) 54
• (d) 9

Q5.

If A is a square matrix such that A² = A, then A is called:

यदि वर्ग आव्यूह A के लिए A² = A, तो A कहलाता है:

• (a) Nilpotent matrix / निलपोटेंट आव्यूह
• (b) Idempotent matrix / इडेम्पोटेंट आव्यूह
• (c) Singular matrix / एकवचन आव्यूह
• (d) Orthogonal matrix / लम्बकोणीय आव्यूह

Q6.

If two rows of a determinant are identical, its value is:

यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों, तो उसका मान होगा:

• (a) 1
• (b) -1
• (c) 0
• (d) Cannot be determined / निर्धारित नहीं किया जा सकता

Q7.

For what value of k is the function
f(x) = { kx², x ≤ 2
         { 12, x > 2
continuous at x = 2?

किस k के लिए दिया गया फलन x = 2 पर सतत होगा?

• (a) 1
• (b) 2
• (c) 3
• (d) 4

Q8.

If y = e^3x, then dy/dx is:

यदि y = e^3x, तो dy/dx है:

• (a) e^3x
• (b) 3e^3x
• (c) e^3x/3
• (d) 3x e^3x-1

Q9.

If f'(x) > 0 throughout an interval, then f(x) is:

यदि किसी interval में f'(x) > 0 है, तो f(x) है:

• (a) Decreasing / घटता हुआ
• (b) Constant / अचर
• (c) Increasing / बढ़ता हुआ
• (d) Neither / कोई नहीं

Q10.

The function f(x) = -x² + 4x has a local maximum at:

फलन f(x) = -x² + 4x का स्थानीय अधिकतम किस बिंदु पर है?

• (a) x = -2
• (b) x = 0
• (c) x = 2
• (d) x = 4

Q11.

The value of the integral ∫ e^x [f(x) + f'(x)] dx is:

निम्नलिखित समाकल ∫ e^x [f(x) + f'(x)] dx का मान है:

• (a) e^x f(x) + C
• (b) e^x f'(x) + C
• (c) f(x) + C
• (d) e^x + C

Q12.

If f(x) is continuous on [a, b], then:

यदि f(x), [a, b] पर सतत है, तो:

• (a) ∫_a^b f(x) dx always exists
• (b) It is always differentiable
• (c) f'(x) must exist everywhere
• (d) None of these / इनमें से कोई नहीं

Q13.

The area bounded by y = x³, x = 0, x = 2 and the x-axis is:

y = x³, x = 0, x = 2 तथा x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

• (a) 1 sq. unit
• (b) 2 sq. units
• (c) 4 sq. units
• (d) 8 sq. units

Q14.

Assertion (A): Every differentiable function is continuous.
Reason (R): Differentiability at a point implies continuity at that point.

कथन (A): प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है।
कारण (R): किसी बिंदु पर अवकलनीयता उसी बिंदु पर सततता को दर्शाती है।

• (a) Both A and R are true and R correctly explains A.
• (b) Both A and R are true but R does not explain A.
• (c) A is true but R is false.
• (d) A is false but R is true.

Q15.

The order and degree of the differential equation (d²y/dx²)² + (dy/dx)³ = 0 are respectively:

दिए गए अवकल समीकरण (d²y/dx²)² + (dy/dx)³ = 0 की कोटि (Order) एवं घात (Degree) क्रमशः हैं:

• (a) 1, 1
• (b) 1, 2
• (c) 2, 1
• (d) 2, 2

SECTION – B (2 Marks Questions) 5 × 2 = 10 Marks

Q16.

Determine whether the relation R in the set A = {1, 2, 3} given by R = {(1, 2), (2, 1)} is reflexive, symmetric, or transitive.

जाँच कीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R स्वतुल्य, सममित, या संक्रामक है अथवा नहीं।

Q17.

Simplify: tan^-1 [ (cos x - sin x) / (cos x + sin x) ] , where -
π/4 < x < 3π/4.

सरल कीजिए: tan^-1 [ (cos x - sin x) / (cos x + sin x) ]

Q18.

If x = a cos θ and y = a sin θ, find dy/dx.

यदि x = a cos θ तथा y = a sin θ, तो dy/dx ज्ञात कीजिए।

Q19.

Find the value of x for which the matrix

2	3
4	x

is singular.

वह x ज्ञात कीजिए जिसके लिए दिया गया आव्यूह एकवचन (singular) है।

Q20.

Find the intervals in which f(x) = x² - 4x + 6 is strictly increasing and strictly decreasing.

ज्ञात कीजिए कि फलन f(x) = x² - 4x + 6 किन अंतरालों (intervals) में निरंतर वर्धमान (increasing) तथा निरंतर ह्रासमान (decreasing) है।

SECTION – C (3 Marks Questions) 5 × 3 = 15 Marks

Q21.

Show that the function f(x) = |x - 2| is continuous but not differentiable at x = 2.

दर्शाइए कि फलन f(x) = |x - 2|, x = 2 पर सतत है परंतु अवकलनीय नहीं है।

Q22.

Prove that ∫₀^π/2 [ √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) ] dx = π/4

सिद्ध कीजिए कि ∫₀^π/2 [ √(sin x) / (√(sin x) + √(cos x)) ] dx = π/4

Q23.

Using properties of determinants, evaluate / सिद्ध कीजिए:

1	a	a2
1	b	b2
1	c	c2

= (a - b)(b - c)(c - a)

सारणिक के गुणों का प्रयोग करके उपर्युक्त का मान ज्ञात कीजिए।

Q24.

Examine the continuity of f(x) = sin |x| at x = 0.

जाँच कीजिए कि दिया गया फलन f(x) = sin |x|, x = 0 पर सतत है या नहीं।

Q25.

Find the equation of the tangent to the curve y = x² - 2x + 7 at the point (2, 7).

वक्र y = x² - 2x + 7 के बिंदु (2, 7) पर स्पर्श रेखा (tangent) का समीकरण ज्ञात कीजिए।

SECTION – D (5 Marks Questions) 6 × 5 = 30 Marks

Q26.

Relations and Functions / संबंध एवं फलन
Let A = R - {3} and B = R - {1}. Consider the function f: A → B defined by f(x) = (x - 2)/(x - 3).
(a) Prove that f is one-one.
(b) Prove that f is onto.
(c) Hence find f^-1(x).

मान लीजिए A = R - {3} तथा B = R - {1} है। फलन f: A → B, जो f(x) = (x - 2)/(x - 3) द्वारा परिभाषित है, पर विचार करें।
(a) सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।
(b) सिद्ध कीजिए कि f आच्छादक है।
(c) अतः f^-1(x) ज्ञात कीजिए।

--- OR / अथवा ---

For f(x) = x² + 4, discuss whether f is one-one and onto for f: R → R. If not, suggest a suitable restriction on domain and codomain to make it invertible, and find the inverse.

फलन f: R → R, f(x) = x² + 4 के लिए जाँच कीजिए कि f एकैकी एवं आच्छादक है या नहीं। यदि नहीं, तो इसे व्युत्क्रमणीय (invertible) बनाने के लिए domain एवं codomain पर उपयुक्त प्रतिबंध सुझाइए और इसका प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

Q27.

Matrices and Determinants / आव्यूह एवं सारणिक
Using matrix method, solve the following system of linear equations:
x - y + z = 4
2x + y - 3z = 0
x + y + z = 2

आव्यूह विधि का प्रयोग करके निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के निकाय को हल कीजिए।

Q28.

Continuity and Differentiability / सततता एवं अवकलनीयता
Find the values of a and b so that the function
f(x) = { x² + 3x + a, if x ≤ 1
         { bx + 2, if x > 1
is differentiable at x = 1.

a तथा b के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए दिया गया फलन x = 1 पर अवकलनीय हो।

Q29.

Application of Derivatives / अवकलज के अनुप्रयोग
A rectangular field is to be enclosed by a boundary of length 100 m. Find the dimensions of the rectangle for which the area is maximum. Also find the maximum possible area.

100 m लंबी परिमाप (boundary) से एक आयताकार खेत को घेरना है। उस आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसके लिए क्षेत्रफल अधिकतम हो। अधिकतम संभव क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

Q30.

Integrals and Application of Integrals / समाकल एवं समाकलनों के अनुप्रयोग
Find the area of the region bounded by the curve y = x² and the line y = 4 using definite integration.

निश्चित समाकल की सहायता से वक्र y = x² तथा रेखा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Q31.

Differential Equations / अवकल समीकरण
Solve the linear differential equation:
dy/dx + y cot x = 2x + x² cot x (where x ≠ 0)

निम्नलिखित रैखिक अवकल समीकरण को हल कीजिए:

--- OR / अथवा ---

Solve the homogeneous differential equation:
(x² - y²) dx + 2xy dy = 0

दिए गए समघातीय अवकल समीकरण को हल कीजिए:

📊 MARKING SCHEME / अंक-विभाजन

Section / खण्ड	Type / प्रश्न प्रकार	Questions	Marks
A	MCQs / बहुविकल्पीय प्रश्न	15 × 1	15
B	Short Answer (2 Marks)	5 × 2	10
C	Short Answer (3 Marks)	5 × 3	15
D	Long Answer (5 Marks)	6 × 5	30
TOTAL / कुल		31 Questions	70 Marks

🎯 Paper का Level: Moderate + Advanced रखा गया है

• MCQs: Conceptual + Assertion/Reason
• 2 Marks: Direct concept + calculation
• 3 Marks: NCERT concept को थोड़ा twist करके
• 5 Marks: Case/application/analytical approach
• Calculus: Continuity, differentiability, maxima-minima, integration, area और differential equations सभी cover किए गए हैं।
• Algebra: Relations, inverse functions, matrices और determinants को balanced तरीके से शामिल किया गया है।